Mathematical modelling and analysis of spatio-temporal models dedicated to tree-grass dynamics in humid savannas
Modélisation mathématique et analyse de modèles spatio-temporels dédiés à la dynamique arbre-herbe dans les savanes humides
Résumé
Vegetation biome encompasses in wet ecosystems, self organized physiognomies that traduce complex dynamical processes leading to homogeneous distributions of forests, grasslands and savannas, to heterogeneous distributions of trees and grasses. Spatio-temporal patterns of vegetation, are characteristic feature of wetland ecosystems occurring in all continents. The development of a better understanding of their spatial dynamics, is an issue of considerable ecological and social economical importance, by regulating global climate and provides materials need for human. Mathematical modelling is a useful tool to describe dynamics of complex systems and, several mathematical models have been devoted to the study of tree-grass dynamics in savanna ecosystems, but with a scarcely attention, of spatial mechanism of tree and grass interactions that translated in space. This work dedicated to the modelling and the analyse via partial differential equations on tree and grass dynamics in humid savannas is divided in two main parts. In the first part, we propose and analyse a spatio-temporal model of tree-grass interactions in humid savanna. This first model, is based on two nonlocal reaction-diffusion equations with kernels of intra and inter specific competition and also a kernel indirectly acting as facilitation in term of reduction of fire effect on tree mortality; all off these in the reaction part of the model. The diffusion part is modelled via the Laplace operators considered in a one spatial domain. A qualitative analyse of this model reveals several ecological thresholds that shape the overall dynamics of the model. Thanks to linear stability analysis, the model account for the occurrence of space inhomogeneous solutions. All of these lead us to conclude that, the interplay between nonlocal competition and nonlocal facilitation, can explain the spatial periodic structuring sometimes observed in humid savannas. In the second part of this work, we consider nonlocal seed dispersal, as to describe the propagation in space of both tree and grass biomass. We therefore replaced, the Laplace operators by integral operators, and, we focus on the existence of travelling wave connecting the grassland homogeneous steady state to the forest homogeneous steady state of the model. A qualitative analyse of this reaction dispersion model, leads to the characterisation by a mathematical expression depending on several parameters of the model, of the minimal wave speed that controls the forest encroachment into the grassland. We therefore found that, the length of tree seed dispersal and the fire frequency can control the wave propagation.
Dans les écosystèmes humides le biome de végétation englobe des physionomies autoorganisées qui décrivent des processus dynamiques complexes allant des distributions homogènes de forêts, de prairies et de savanes, à des distributions hétérogènes d’arbres et d’herbes. Ces physionomies de végétations sont des traits caractéristiques des écosystèmes en zones humides et sont observées sur tous les continents. Le développement d’une meilleure compréhension de leur évolution spatio-temporelle est un enjeu d’importance écologique et socio-économique considérable, pour la régulation du climat mondial et de l’approvisionnement en matériaux nécessaires à l’homme. La modélisation mathématique est un outil utile pour décrire la dynamique de systèmes complexes, et plusieurs modèles mathématiques ont été consacrés à l’étude des dynamiques arbres-herbes dans les écosystèmes de savanes, mais ceci, avec une attention limitée sur les mécanismes spatiaux entre arbres et herbes. Ce travail, qui consiste en la modélisation et l’analyse via des équations aux dérivées partielles des dynamiques arbres/herbes dans les savanes humides, est divisée en deux parties principales. Dans la première partie, nous analysons un modèle spatio-temporel d’interactions arbres-herbes en zones de savanes humides. Ce premier modèle est basé sur deux équations de réaction-diffusion intégro-différentielles avec, dans la partie réaction du modèle des noyaux de compétition intra et interspécifiques et un noyau agissant indirectement comme terme de facilitation en decrivant la réduction de la mortalité des arbres liée aux feux. La partie diffusion est modélisée via l’operateur de Laplace. Une analyse qualitative de ce modèle révèle plusieurs seuils écologiques qui régulent la dynamique globale du modèle. Grace à l’analyse de stabilité linéaire, le modèle rend compte de l’existence de solutions inhomogènes en espace. Ceci nous conduit à conclure que la présence conjointe de compétition non-locale et facilitation non-locale conduit à une structuration spatiale périodique dans les savanes humides. Dans la deuxième partie de ce travail, nous considérons la dispersion non-locale des graines pour décrire la propagation spatiale de la biomasse des arbres et des graminées. Nous remplaçons donc les opérateurs de Laplace par des opérateurs intégraux et nous nous focalisons sur l’existence d’une onde progressive reliant l’état stationnaire homogène de prairie à l’état stationnaire homogène de foret. Une analyse qualitative de ce modèle de réaction-dispersion nous permet de caractériser, par une expression mathématique dépendant de plusieurs paramètres du modèle, la vitesse minimale de l’onde progressive qui contrôle l’avancée de la forêt dans la prairie. Ainsi nous parvenons à la conclusion selon laquelle la longueur de dispersion des graines d’arbres et la fréquence des feux peuvent contrôler la vitesse de l’onde progressive
| Origine | Fichiers produits par l'(les) auteur(s) |
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